Esperienza di laboratorio in classe: misurare il diametro di un capello attraverso il fenomeno della diffrazione di un fascio di luce verde prodotto da un laser

L’obiettivo dell’esperimento è quello di misurare il diametro di un capello attraverso il fenomeno della diffrazione di un fascio di luce verde proveniente da un laser.

Argomenti da studiare prima di eseguire l'esperienza in laboratorio

Gli argomenti da conoscere necessariamente prima di compiere l'esperienza in laboratorio sono i fenomeni propri delle onde: l’interferenza e la diffrazione.

L’interferenza si origina dalla sovrapposizione di due o più onde. Essa può essere:

•     Costruttiva: interferendo, gli effetti di due o più onde si rafforzano a vicenda, in quanto lo spostamento risultante di esse sarà maggiore degli spostamenti dovuti singolarmente a ciascuna delle due. Inoltre, essa si verifica sistematicamente se la differenza tra le distanze delle sorgenti delle onde e il punto dove avviene l’interferenza è uguale ad un multiplo intero k della lunghezza d’onda λ;
•    Distruttiva: interferendo, gli effetti delle onde si indeboliscono a vicenda, in quanto lo spostamento risultante sarà minore dei singoli spostamenti di ciascuna delle due. Inoltre, essa si verifica sistematicamente se la differenza tra le distanze delle sorgenti delle onde e il punto dove avviene l’interferenza è uguale ad un multiplo intero k della lunghezza d’onda λ più mezza lunghezza d’onda.

La diffrazione è un particolare fenomeno di interferenza.

Essa avviene ogni volta che un’onda, incontrando un ostacolo o uno schermo tagliato da una fenditura, le cui dimensioni sono paragonabili o minori rispetto alla lunghezza d’onda, incurva i suoi fronti d’onda; in questo modo, essa aggira l’ostacolo o si espande dalla fenditura fin dietro lo schermo

Questo fenomeno è stato studiato per la prima volta nel 1665 dal gesuita Francesco Maria Grimaldi, il quale coniò il termine “diffrazione” (frazionamento in più parti).

Isaac Newton, ideatore del modello corpuscolare della luce, attribuì la causa del fenomeno ad un incurvamento dei raggi luminosi.

Successivamente, dopo diversi studi sui fenomeni di riflessione e rifrazione delle onde, lo studioso Huygens formulò il cosiddetto principio di Huygens, secondo il quale: tutti i punti di un fronte d’onda possono essere considerati delle sorgenti puntiformi di onde sferiche secondarie (della stessa frequenza dell’onda originale) che, sovrapponendosi (interferendo), formano un fronte d’onda successivo.

Successivamente, i fenomeni dell’interferenza e della diffrazione vennero ripresi nel 1803 da Thomas Young studiandoli da due fenditure praticate in uno schermo, nelle quali si dispongono su di esse due sorgenti luminose coerenti (emettono due onde la cui differenza di fase rimane costante).

Le due onde formano una figura di interferenza che è visibile su un secondo schermo, ad una determinata distanza dalle fenditure.

 

 

Lo schermo presenta una serie di frange di interferenza: una frangia centrale, più luminosa e, in modo simmetrico, ai suoi fianchi vi sono frange scure e luminose alternate.

La frangia centrale è più luminosa delle altre perché essa è equidistante dalle due sorgenti luminose e, quindi, riceve le onde luminose prodotte in fase (i massimi delle due onde giungono contemporaneamente nel punto centrale del secondo schermo), compiendo un’interferenza costruttiva massima.

Le prime fasce scure laterali, invece, ricevono l’onda di una sorgente in modo perpendicolare, e l’onda proveniente dall'altra con un angolo di deviazione rispetto alla normale; di conseguenza, la distanza percorsa da ciascuna onda è diversa per un fattore λ/2.

In questo caso, quindi, la sovrapposizione delle onde dà luogo ad un’interferenza distruttiva.

Le terze fasce luminose, invece, ricevono le onde emesse da entrambe le fenditure con un angolo di deviazione rispetto alla normale. Questa volta, però, la distanza tra il secondo schermo e le rispettive sorgenti differisce per un multiplo di λ.

Pertanto, la sovrapposizione delle onde dà luogo ad un’interferenza costruttiva e la zona considerata presenta una fascia luminosa, la quale risulta, però, meno brillante di quella centrale.

L’esperimento di Young ha permesso di determinare, oltre che la natura ondulatoria della luce, la lunghezza d’onda dei due fasci luminosi.

Tale grandezza dipende da tre parametri, entrambi misurati in metri: la distanza tra le due fenditure d, la distanza tra la frangia luminosa centrale e la prima (luminosa) laterale y e la distanza tra le fenditure e il secondo schermo l.

λ= (∆y* d)  ∕  l

Materiale da utilizzare

Basandosi sull’esperimento di Young, si cerca di eseguirlo in laboratorio al fine di misurare lo spessore di un capello. I materiali utilizzati per compiere questo esperimento sono stati:

·        un laser che emette luce verde intorno ai 520/532 nm;

·        un capello: esso funge da doppia fenditura, in quanto la luce del laser può passare sia a destra che a sinistra del capello;

·        due fogli lisci bianchi: uno per posizionare in modo saldo il capello ed un altro per proiettare la serie di frange di diffrazione, apportandone le relative misure. Si usano fogli lisci per ottenere, soprattutto nel caso dello schermo sul quale si proiettano le frange, il più possibile una superficie non scabra. Inoltre, devono essere bianchi perché la caratteristica di un corpo bianco è quella di “rinviare” (quindi non assorbire) tutti i colori, che corrispondono a onde luminose di diversa frequenza;

·        un banco ed un supporto fisso di metallo per posizionare il laser alla stessa altezza del capello nella fenditura;

·        un rotolino di scotch per fissare il capello all’interno di una fenditura realizzata nel primo foglio e fissarlo al banco, ed attaccare al muro lo schermo;

·        un righello ed un metro a rullino per misurare rispettivamente le distanze tra la frangia luminosa centrale e quelle luminose simmetriche alla medesima ed, infine, la distanza tra il capello e lo schermo.

 

 

 Montaggio dell’apparecchiatura ed esecuzione delle misure

 

1.  Si prende un foglio bianco e si ritaglia al centro una fenditura di forma rettangolare di lunghezza 10,5cm ± 0,1cm e di spessore 0,5 cm ± 0,1 cm. Poi, si colloca un capello di lunghezza 10cm  ± 0,1cm e lo si fissa con dello scotch .
2.  Si fissa, con delle strisce di scotch, il sistema foglio + capello sul banco.
3.  Si colloca posteriormente, ad una piccola distanza dal sistema, un supporto fisso di metallo.
4.  Si posiziona il laser alla stessa altezza della fenditura, in modo che il capello si trovi lungo il cammino del raggio laser. La distanza tra il laser e la fenditura deve essere piccola, affinché la figura di diffrazione sia chiara, netta ed ingrandita.
5.  Si pone ad una distanza D=103cm ±0,1cm dal sistema un altro foglio liscio e bianco, il quale funge da schermo. Esso viene fissato, poi, al muro con dello scotch.
6.  Dopo aver acceso il laser, si visiona la proiezione del pattern (figura di diffrazione) sullo schermo, dove al centro si nota la massima luminosità. Le prime frange luminose laterali sono identificate dall’intero m, inteso come ordine di intensità. Pertanto, in questo caso, m è pari a -1 se si riferisce alla frangia luminosa di sinistra, oppure a +1 se si riferisce alla frangia di destra. In modo analogo, vengono indicati i valori m alle altre frange luminose.
7.  Pertanto, si segnano a matita sullo schermo i punti medi delle prime due frange luminose

•       B' e A' sono le prime due frange luminose con m negativo immediatamente precedenti a O (area che contiene il punto luminoso centrale);
•       A' e B' sono le frange luminose con m positivo che sono immediatamente successive a O.

 

   ← m negativo                                                             m positivo →                                   

                                            

                                                                                                         

 
Si misurano le distanze dei punti medi delle frange di posizione simmetrica rispetto al centro O: A’A, B’B; si tiene conto della sensibilità del righello di 1 mm.

Dopo aver preso le misure, si dividono le medesime distanze per 2, in modo da ottenere, con maggiore precisione, le distanze dei punti medi delle frange chiare dal centro. È necessario fare ciò perché il punto O si trova in una zona luminosa più ampia rispetto ai punti delle altre frange e, quindi, diventa complicato calcolare direttamente le distanze OA e OB (e analogamente A’O, B’O).

Per semplicità si indicano le distanze y₁ = OA, y₂= OB.

Nel caso della distanza OA il valore del numero d’ordine m sarà positivo (si considerano le frange luminose di destra) e uguale a 1, mentre nel caso della distanza OB il numero d’ordine m è uguale a 2.

 

 

 Equivalenze eseguite e misure

Si inseriscono le misure e le rispettive equivalenze eseguite, in modo da avere misure di grandezze fisiche secondo il Sistema Internazionale.

Lunghezza d’onda λ = 532nm = 532*10 ^-9m= 5,32*10^-7m

N. B. Dell’intervallo della lunghezza d’onda λ generata dal laser di 520/532 nm è stato scelto il valore 532nm perché durante l’esperimento in laboratorio è stato necessario cambiare le pile del puntatore laser con pile alcaline nuove di 1,5 V (volt).

Lunghezza capello=10cm ±  0,1cm=0,01m ±10^-3m

Distanza tra il sistema di posizionamento del capello e lo schermo D=103cm ± 0,1cm = 1,03m ±10^-3m

 

Dati da misurare	Prima misurazione	Seconda misurazione	Terza misurazione	Errore massimo	Incertezza relativa	Valore medio
A’A	0,03m  ± 10-3m	0,031m± 10-3m	0,029m  ± 10-3m	5*10-4	0,03333	0,03m  ±  10-3m
B’B	0,058m  ±10-3m	0,0575m  ±  10-3m	0,057m  ± 10-3m	5*10-4	0,01739	0,0575m  ± 10-3m
OA=A’A/2	0,015m   ±10-3m	0,0155m  ± 10-3m	0,0145m  ±  10-3m	5*10-4	0,06666	0,015m  ±  10-3m
OB=B’B/2	0,029m ± 10-3m	0,02875m±10-3m	0,0285m  ±  10-3m	2,5*10-4	0,034782	2,875*10-2m ±10-3m

N.B. È da notare che, in effetti, le tre misurazioni eseguite per le distanze elencate si differenziano di 1mm circa, valore che coincide con la sensibilità dello strumento usato (il righello).

Si misura lo spessore del capello (denominato con la lettera a) ricorrendo alla formula inversa della relazione

 

 y=m   D                   a=m D       

          

I valori che si ottengono dello spessore del capello sono

·        Per y=OA, m=1 e D=1,03m  ± 10^-3m

 

a= (1*1,03m*5,32*10^-7m) / 0,015m = 3,65307*10^-5 m

 

Incertezza a/a= D/D+ OA/OA= 10^-3m/1,03m + 10^-3 m/0,015m= 0,0676

a=0,0676*a=0,0676*3,65307*10^-5 m= 2,47085*10^-6m

 

a= 3,65307*10^-5 m  ±  2,47085*10^-6m

 

Se si volesse convertire il valore da metri a millimetri, si otterrebbe

a= 3,65307*10^-2 mm  ± 2,47085*10^-3 mm

 

·        Per y=OB, m=2 e D=1,03m  ± 10^-3m

 

a=(2*1,03m*5,32*10^-7m) / 2,875*10^-2m= 3,8119*10^-5m

 

Incertezza a/a= D/D+ OB/OB= 10^-3m/1,03m + 10^-3 m/2,875*10^-2m = 0,0357

a=0,0357*a=0,0357* 3,8119*10^-5m = 1,36085*10^-6m

 

a= 3,8119*10^-5m  ± 1,36085*10^-6m.

 

Se si volesse convertire questo valore da metri a millimetri si otterrebbe

 

a= 3,8119*10^-2 mm  ±  0,001,36085*10^-3 mm.

 

I valori dello spessore del capello ottenuti con le relative distanze y₁ e y₂ differiscono di  

1,5883*10^-6m, che corrisponde a 1,5883 µm (micrometro) ed a 1,5883*10^-3 in mm.

     Quindi, si calcola il valore medio dello spessore del capello

a_m = (3,65307*10^-5+3,8119*10^-5 ) / 2 = 3,73248 *  10^-5 m

e la relativa incertezza

∆a_m= 2,47085*10^-6m+1,36085*10^-6m = 3,8317*10^-6m.

Dalle operazioni precedenti, si ottiene come valore medio dello spessore del capello  a_m= 3,73248*10^-5 m ±3,8317*10^-6m.

Se si volesse convertire questo valore in millimetri si otterrebbe

a_m= 3,73248*10 ^-2 mm  ±  3,8317*10^-3 mm

 

N.B. Lo spessore di un capello è, generalmente, compreso tra 0,06mm e 0,1mm.

 

 

Conclusioni

Lo scopo dell’esperimento, ossia trovare lo spessore di un capello attraverso il fenomeno della diffrazione della luce verde di un laser a diodo, è stato raggiunto.

Il valore medio dello spessore del capello è 

a_m=(3,73248*10^-5  ±  3,8317*10^-6)m

 un numero compreso tra 3,32*10^-5m e 4,08*10^-5m.

Si inseriscono nella tabella tutti valori ricavati durante l’esperimento.

 

Dati da misurare	Prima misurazione	Seconda misurazione	Terza misurazione	Errore massimo	Incertezza relativa	Valore medio
A’A	0,03m ±10-3m	0,031m ±10-3m	0,029m ±10-3m	5*10-4	0,03333	0,03m ±  10-3m
B’B	0,058m  ± 10-3m	0,0575m ± 10-3m	0,057m  ±10-3m	5*10-4	0,01739	0,0575m  ±  10-3m
OA=A’A/2	0,015m ±10-3m	0,0155m± 10-3m	0,0145m  ± 10-3m	5*10-4	0,06666	0,015m ±10-3m
OB=B’B/2	0,029m  ± 10-3m	0,02875m ± 10-3m	0,0285m  ± 10-3m	2,5*10-4	0,034782	2,875*10-2m±10-3m
Lunghezza d’onda	5,32*10-7m	//	//	//	//	//
Lunghezza capello	0,01m  ± 10-3 m	0,0009m  ± 10-3m	0,011m  ± 10-3m	5,05*10-3	0,13698	7,3*10-3m ± 10-3m
Distanza D	1,03m   ± 10-3m	1,02m   ±  10-3m	1,04m  ±  10-3m	10-2	0,00097	1,03m  ± 10-3m
Lunghezza fenditura foglio	10,5*10-2m ±  10-3 m	10,4*10-2m ±10-3 m	10,6*102m ± 10-3 m	10-3	0,0095	10,5*10-2m ± 10-3 m
Spessore fenditura foglio	5*10-3 m  ± 10-3 m	6*10-3 m  ± 10-3 m	4*10-3 m  ±  10-3 m	10-3	0,2	5*10-3 m  ±  10-3 m

 

Spessore capello per y=OA: a= 3,65307*10^-5 m  ±  2,47085*10^-6m

Spessore capello per y=OB: a= 3,8119*10^-5m  ± 1,36085*10^-6m

Valore medio dello spessore del capello: a_m= 3,73248*10^-5 m  ±  3,8317*10^-6m

Confrontando tra loro i valori relativi alle distanze tra il capello e lo schermo (distanza D), le dimensioni della fenditura del foglio e le distanze tra i punti medi delle frange chiare di posizione simmetrica rispetto al centro del pattern, durante le tre misurazioni, si può notare che essi variano di 1mm circa, valore che coincide con gli strumenti utilizzati in laboratorio per la misurazione (righello e metro a rullino).

Inoltre, è stato impegnativo ricavare i dati relativi alle distanze tra i punti medi delle frange chiare, con orientamento verso destra e numero d’ordine di intensità positivo, e il punto medio della frangia luminosa centrale; infatti, quest’ultimo è posizionato in una zona più luminosa e, di conseguenza, più ampia rispetto ai punti medi delle altre frange luminose.

Pertanto, è stato necessario misurare prima le distanze dei punti medi delle prime due frange di posizione simmetrica rispetto al punto medio della frangia centrale, e, successivamente, dividere ciascuna delle medesime per 2, ottenendo, con maggiore precisione, le distanze per misurare lo spessore del capello.

Come conclusione dell’esperimento, confrontando il valore della lunghezza d’onda del fascio luminoso verde del laser pari a 532nm (ossia 5,32*10^-7m) e il valore medio dello spessore del capello, si può affermare che la diffrazione svolta in laboratorio è avvenuta con un ostacolo di dimensioni a_m pari a 70 volte circa (a_m / λ) la lunghezza d’onda.